Corriges maths
Publié le 07/10/2023
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CHAPITRE 1:
SUITES NUMÉRIQUES.
PLAN DU COURS:
1.
DEFINITION ET ÉCRITURE.
2.
SUITES ARITHMÉTIQUES.
3.
SUITES GÉOMÉTRIQUES.
4.
GRAPHE ET SENS DE VARIATION.
5.
NOTION DE LIMITE.
Exemple d'introduction :
On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs
rangés dans l'ordre croissant : 1, 3, 5, 7, …
On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite de nombres tel que :
u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, …
On a ainsi défini une suite numérique.
On peut lui associer une fonction définie sur ℕ par u : ℕ → ℝ
𝑛 ⟼ 𝑢 𝑛 = 𝑢𝑛
DÉFINITION:
Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels
telle qu'à tout entier n on associe un nombre réel noté un.
un est appelé le terme de rang n de cette suite (ou d'indice n).
On note:
un : ℕ
ℝ
n
un
FORME EXPLICITE:
Lorsqu'on génère une suite par une formule explicite, chaque terme
de la suite est exprimé en fonction de n et indépendamment des
termes précédents.
𝑛+1
Exemple: 𝑈𝑛 =
𝑛∈ℕ
𝑛+2
En effet
0+1 1
2
3
𝑈0 =
= ; 𝑈1 = ; 𝑈2 = .
.
.
0+2 2
3
4
FORME RÉCURRENTE:
Lorsqu'on génère une suite par une relation de récurrence, chaque
terme de la suite s'obtient à partir d'un (ou plusieurs) des termes
précédents.
𝑈
=
1
0
Exemple: ቊ
𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 + 7
En effet
𝑛∈ℕ
𝑈1 = 2𝑈0 + 7 = 9 ; 𝑈2 = 2𝑈1 + 7 = 25 .
.
.
REMARQUE:
Faire attention a la différence entre 𝑈𝑛+1 𝑒𝑡 𝑈𝑛 + 1.
𝑛+1
En effet: Si 𝑈𝑛 =
𝑛+2
Alors 𝑈𝑛+1
𝑛∈ℕ
𝑛+1 +1 𝑛+2
=
=
.
𝑛+1 +2 𝑛+3
𝑛+1
2𝑛 + 3
Tandis que 𝑈𝑛 + 1 =
+1=
.
𝑛+2
𝑛+2
2.SUITES ARITHMÉTIQUES.
QU’EST-CE QU’UNE SUITE ARITHMÉTIQUE?
Lorsque pour une suite (𝑈𝑛 ), on passe d’un terme 𝑈𝑛 au suivant 𝑈𝑛+1 en
ajoutant toujours le même nombre fixe r, on dit que la suite (𝑈𝑛 ) est
arithmétique de raison r.
𝑼𝟎
𝑼𝟏
+
r
𝑼𝟑 ….
𝑼𝒏
𝑼𝟐
+
r
+
r
𝑼𝒏+𝟏 ….
+
r
La suite est donc définie par : 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟 et 𝑢0 (son premier terme).
Exemple :
Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme
et son précédent reste constante et égale à 5.
Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont :
𝑼𝟏 =8
𝑼𝟎 = 𝟑
+
5
𝑼𝟑 = 𝟏𝟖 ….
𝑼𝟐 = 𝟏𝟑
+
5
+
5
Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de
premier terme 3.
La suite est donc définie par : 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 5 et 𝑢0 = 3.
PROPRIÉTÉS:
1.
Pour démontrer qu’une suite (𝑈𝑛 ) est arithmétique, on démontre que:
𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = r
2.
Si une suite (𝑈𝑛 ) est arithmétique de raison r, Alors:
𝑈𝑚 = 𝑈𝑝 +(m-p)r
3.
Si S= 𝑈0 + 𝑈1 + 𝑈2 +…..
+ 𝑈𝑛 avec (𝑈𝑛 ) suite arithmétique, Alors:
Nombre de termes= dernier indice-premier indice +1
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠
𝑆=
𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 + 𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒
2
Application:
1) La suite (un) définie par : 𝑢𝑛 = 7 − 9𝑛 est-elle arithmétique ?
2) La suite (vn) définie par : 𝑣𝑛 = 𝑛2 + 3 est-elle arithmétique ?
1) 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 7 − 9 𝑛 + 1 − 7 + 9𝑛 = 7 − 9𝑛 − 9 − 7 + 9𝑛 = −9.
La différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à –9.
(un) est une suite arithmétique de raison –9.
2) 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛 = 𝑛 + 1
2
+ 3 − 𝑛2 − 3 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 3 − 𝑛2 − 3 = 2𝑛 + 1.
La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante.
(vn) n'est pas une suite arithmétique.
Application:
Considérons la suite arithmétique (un) tel que 𝑢5 = 7 et 𝑢9 = 19.
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un).
2) Exprimer un en fonction de n.
1) Comme (un) est arithmetique, on peut utiliser la formule
𝑢𝑚 = 𝑢𝑝 + 𝑚 − 𝑝 𝑟, avec m=9 et p=5 Ainsi 𝑢9 = 𝑢5 + (9 − 5)r
19 = 7+4r
r=3
Et 𝑢0 = 𝑢5 + (0 − 5)r=7-5x3=-8.
2) 𝑢𝑛 = 𝑢0 + (𝑛 − 0)𝑟 soit 𝑢𝑛 = 3𝑛 − 8.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE:
Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont
alignés.
Exemple :....
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