Lecons suite Arithmétique et Géométrique complet

« Chap 4.

Suites arithmétiques et géométriques Objectifs : Contenus • • Capacités exigibles Suites arithmétiques : exemples, définition, calcul du terme général.

Lien avec l’étude d’évolutions successives à accroissements constants.

Lien avec les fonctions affines .

Calcul de 1 + 2 + 3 + … + n. Suites géométriques : exemples, définition, calcul du terme général.

Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant.

Lien avec la fonction exponentielle . Calcul de 1 + q + q² + … + qn. • • Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation. Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique. I Suites arithmétiques 1.

Définition Une suite u est arithmétique lorsqu'il existe un réel r tel que, pour tout n ∈ ℕ, un+1 = un + r. r est appelé la raison de la suite u. Exemple : Soit u la suite arithmétique de raison r =5 et de premier terme u 0=3 . u0 = 3 La suite u est définie pour tout n ∈ ℕ par . un + 1 = un + 5 Les premiers termes successifs sont : u 0=3 u 1=u 0 +5=3+5=8 { u 2=u 1 +5=8+5=13 u 3=u 2 +5=13+5=18 u n+1=u n+ r ⇔ u n+1−u n=r donc : si un+ 1−un ne dépend pas de n alors u est une suite arithmétique. Méthode : Comment démontrer qu’une suite est, ou n’est pas, arithmétique ? 1.

Avant toute chose, calculer les trois premiers termes de la suite pour conjecturer le résultat. 2.

Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on calcule la différence u n+1−u n et on montre qu’elle est constante, c’est à dire indépendante de n. 3.

Pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique, il suffit de trouver un contre-exemple montrant que la différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante. Exemple 1 : Pour tout entier n , u n=7−4 n . u 0=7−4×0=7 ; u 1=7−4×1=3 ; u 2=7−4×2=−1 u 1−u 0=u 2−u1=−4 La suite (u n ) semble arithmétique u n+1−u n=(7−4(n+ 1))−(7−4 n)=7−4 n−4−7+ 4 n=−4 La suite (u n ) est arithmétique de raison r =−4 et de premier terme u0=7 . Exemple 2 : Pour tout entier n , v n =n 2−1 . 2 2 2 v 0=0 −1=−1 ; v 1=1 −1=0 ; v 2 =2 −1=3 v 1−v 0=0−(−1)=1 et v 2 −v 1=3−0=3 v 1−v 0≠v 2−v 1 donc la suite (v n ) n’est pas arithmétique. 1ere SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 1/6 2.

Formule explicite Propriété : Si u est une suite arithmétique de raison r alors, pour tout n ∈ ℕ, pour tout p ∈ ℕ, un = up + (n – p) r. Propriété : Si u est une suite arithmétique de raison r alors, pour tout n ∈ ℕ, un = u0 + nr. Méthode : Comment déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique ? Soit u la suite arithmétique telle que u 5=7 et u 9=19 . Déterminer la raison et le premier terme de la suite u puis exprimer u n en fonction de n. u est une suite arithmétique donc, pour tout n ∈ ℕ, pour tout p ∈ ℕ, u n=u p+( n− p) r . u n=u0 + nr u 9=u 5+(9−5)r Avec n=9 et p=5 on a u 9=u 0 +9 r 19=7+ 4 r u 0=u 9−9 r 4 r=12 12 u 0=19−9×3 u n=u0 + nr r= 4 u 0=−8 u n=−8+3 n r =3 3.

Sens de variation Théorème : Soit u une suite arithmétique de raison r. • Si r > 0 alors u est strictement croissante. • Si r < 0 alors u est strictement décroissante. • Si r = 0 alors u est constante. démonstration : Soit u une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout n ∈ ℕ, un+1 – un = r. Si r > 0 alors un+1 – un > 0 donc un+1 > un et la suite u est strictement croissante. Si r < 0 alors un+1 – un < 0 donc un+1 < un et la suite u est strictement décroissante. Si r = 0 alors un+1 = un et la suite u est constante. Exemple : Soit u la suite définie pour tout n ∈ ℕ.... »